Розробила Іценко Любов Михайлівна,
вчитель математики, вчитель–методист
Пояснювальна записка
Математичні знання, уявлення про роль математики в сучасному світі стали нині необхідними компонентами загальної культури. Функція спецкурсів з математики – поглиблення і розширення тих знань, що здобувають в основному курсі математики всі учні. Спецкурси повинні сприяти виявленню математичних і загальноінтелектуальних здібностей учнів та задовольняти їхні інтереси.
Сучасна тригонометрія широко застосовується в різних галузях математики, зокрема в геометрії, техніці, інших науках. Отже, знання з тригонометрії конче потрібні учням.
З тригонометричними функціями, їх властивостями та основними тригонометричними тотожностями учні знайомляться в основній школі. У старшій школі вони знайомляться з тригонометричними формулами, вивчають окремі методи розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь і нерівностей.
Широке використання тригонометричних рівнянь, нерівностей, виразів на олімпіадах, при вступі до вищих навчальних закладів робить доцільним введення спецкурсу “Тригонометрія” для учнів 10 – 11 класів.
Даний спецкурс значною мірою поглиблює рівень знань учнів, розвиває творчі здібності учнів, адже пошуки способів розв’язування рівнянь, доведення тотожностей належить до творчих процесів мислення.
Заняття базується на поглибленому вивченні питань, пов’язаних з основним курсом математики. Поглиблення реалізується на основі вивчення методів, прийомів та засобів розв’язування тригонометричних рівнянь, нерівностей, спрощення виразів та доведення тотожностей. Рівень складності завдань значно вищий, ніж обов’язковий.
Мета курсу:
- cистематизувати відомості про тригонометричні функції;
- закріпити і поглибити знання і вміння, пов’язані із застосуванням вивчених раніше формул тригонометрії;
- розширити знання учнів про основні методи і прийоми розв’язування тригонометричних рівнянь: однорідні, рівняння виду a sinx+bcosx=c(a,b≠0), рівняння, що розв’язуються за допомогою формул пониження степеня, рівняння, що містять дробові вирази, що містять ірраціональності, рівняння з оберненими тригонометричними функціями, рівняння з модулями;
- ознайомити учнів з методами розв’язування тригонометричних рівнянь, нерівностей і систем рівнянь з параметрами та модулями;
- сприяти розвитку продуктивного мислення учнів, підготовці їх до участі в математичних олімпіадах та інших конкурсах.
Основні вимоги
Учні повинні знати:
- означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса довільного кута;
- основні тригонометричні тотожності;
- формули зведення;
- формули додавання;
- формули половинного та подвійного аргументів;
- формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму та різницю і навпаки;
- означення, властивості і графіки основних тригонометричних функцій та обернених тригонометричних функцій;
- методи розв’язування тригонометричних рівнянь, нерівностей та систем рівнянь;
- доводити тригонометричні тотожності;
- обчислювати тригонометричні вирази;
- нерівність Коші;
- нерівність Єнсена;
- метод математичної індукції;
- векторно-координатний метод.
уміти:
- використовувати відповідні формули для знаходження значень тригонометричних функцій для спрощення, обчислення і тотожних перетворень тригонометричних виразів;
- будувати графіки складніших тригонометричних функцій за допомогою перетворень графіків основних функцій;
- розв’язувати складніші тригонометричні рівняння та нерівності;
- розв’язувати тригонометричні рівняння з параметрами та з модулями;
- розв’язувати нестандартні рівняння та нерівності.
Очікувані результати
У процесі навчання учні мають:
- ознайомитись з різними методами і способами розв’язування тригонометричних рівнянь з параметрами, нестандартних рівнянь, та рівняннями, що містять ірраціональності;
- набути навиків використання вивчених тригонометричних формул для доведення тотожностей, спрощення і обчислення виразів та використання нерівності Коші, нерівності Єнсена.
Програма має сприяти досягненню учнями високого рівня математичної підготовки з даної теми та вміння розв’язувати складніші нестандартні вправи.
Вивчення спецкурсу розраховане на 52 години. Для кожної теми вказано один з можливих розподілів годин. Учитель може за своїм бажанням, чи згідно з тематичним плануванням основного курсу, збільшуваним або зменшувати кількість годин на ту чи іншу тему.
У 10 класі спецкурс може вводитись з 2 семестру з продовженням його вивчення в 11 класі.
Зміст програми
Тема 1. Вступ (3 год.)
- Використання тригонометрії;
- узагальнення вивченого матеріалу по тригонометрії.
Тема 2. Тотожні перетворення і обчислення значень тригонометричних функцій (8 год.)
- Векторно-координатний метод для доведення тригонометричних тотожностей;
- використання функції кратних аргументів при перетворенні тригонометричних виразів;
- перетворення тригонометричних виразів введенням допоміжного аргументу.
Тема 3. Доведення тригонометричних нерівностей (4 год.)
- Застосування нерівності Коші, нерівності Єнсена, методу математичної індукції для доведення тригонометричних нерівностей.
Тема 4. Обернені тригонометричні функції (4 год.)
- Обернені тригонометричні функції;
- властивості обернених тригонометричних функцій;
- основні співвідношення між оберненими тригонометричними функціями;
- тотожні перетворення обернених тригонометричних функцій;
- обчислення значень обернених тригонометричних функцій.
Тема 5. Тригонометричні рівняння та системи рівнянь (13 год.)
- Рівняння, алгебраїчні відносно однієї з тригонометричних функцій;
- рівняння, що розв’язуються методом розкладання на множники;
- однорідні рівняння;
- рівняння виду asinx+bcosx=c (a, b¹0);
- рівняння, які розв’язуються за допомогою формул пониження степенів;
- рівняння, які розв’язуються методом заміни змінних;
- рівняння, які розв’язуються за допомогою формул подвійного та потрійного аргументів;
- рівняння, які розв’язуються перетворенням суми тригонометричних функцій у добуток або добутку в суму;
- рівняння, що містять ірраціональності;
- рівняння, які розв’язуються із урахуванням обмеженості функцій sinx і cosx;
- рівняння з оберненими тригонометричними функціями;
- тригонометричні рівняння з параметрами;
- тригонометричні рівняння, що містять символ абсолютної величини;
- системи тригонометричних рівнянь.
Тема 6. Тригонометричні нерівності (6 год.)
- нерівності з оберненими тригонометричними функціями;
- тригонометричні нерівності з параметрами;
- нестандартні нерівності.
Тема 7. Геометричні задачі, що приводять до розв’язування тригонометричних рівнянь (4 год.)
- Співвідношення між сторонами і кутами в трикутниках;
- теореми синусів і косинусів в олімпіадних задачах;
- формули обчислення площ поверхонь із застосуванням тригонометричних співвідношень;
- задачі на обчислення об’ємів многогранників і тіл обертання із застосуванням тригонометричних співвідношень.
Тема 8. Розв’язування завдань підвищеного рівня складності (10 год.)
- задачі на встановлення виду трикутників;
- застосування рівності однойменних функцій при розв’язуванні олімпіадних задач;
- умовні рівності при розв’язуванні тригонометричних олімпіадних задач;
- задачі на складання тригонометричних тотожностей.
Література
1. Айзенштат Я.И. Решение задач по тригонометрии. М.: УЧПЕДГИЗ, 1960.
2. Апостолова Г.В. Хитромудрий модуль. – К.: Видавничий комплекс Поліграфсервіс, 2001.
3. Барановська Г.Г., Ясінський В.В. Практикум з математики. Тригонометрія. – К.: Вирій, 1997.
4. Бартенев Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре. – М.: Просвещение, 1976.
5. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. – М.: Просвещение, 1989.
6. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: Справ. пособ. / В.В. Вавилов, И.И.Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. М.: Наука, 1987.
7. Сборник задач Киевских математических олимпиад / В.А. Вышенский, Н.В. Карташов, В.И. Михайловский, М.И. Ядренко. – К.: Вища школа, 1984.
8. Галицкий М.Л., Машкович М.М. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990.
9. Горнштейн П.И., Полонский В.Б. Задачи с параметрами. – К.: Евроиндекс, 1995.
10. Дорофеев Г.В., Поталов М.К., Розов Н.К. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1976.
11. Кожеуров П.Я. Курс тригонометрії. – М., 1952.
12. Литвиненко Г.М., Швець В.О. Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту. – Львів: ВНТЛ, 1998.
13. Лобанова Л.В., Фінкельштейн Л.П. Вибрані задачі елементарної математики. К.: Вища школа, 1989.
14. Практикум з розв’язування задач з математики // За ред. В.І. Михайловського. – К.: Вища школа, 1989.
15. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.
16. Позойський Р.І. Збірник задач з тригонометрії. – К.: Радянська школа, 1953.
17. Рибкін Н. Збірник задач з тригонометрії. – К.: Радянська школа, 1957.
18. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВТУЗы. – М.: Высшая школа, 1990.
19. Стратілатов П.В. Збірник задач з тригонометрії. – К.: Радянська школа, 1963.
20. Стратілатов П.В. Тригонометрія. – К.: Радянська школа, 1969.
21. Туманов С.И. Поиски решения задач. – М.: Просвещение, 1969.